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Anderes Wort FГјr Festlegen


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Postleitzahl, Datum etc. Der Bucketsort funktioniert aber nur für spezielle Typen, nämlich solche, die eine kleine Schlüsselmenge als Sortiergrundlage verwenden.

Andernfalls macht die Verwendung einer Tabelle keinen Sinn. Aber es geht auch linear! Man muss nur die Idee des Quicksort verwenden, aber ohne gleich den ganzen Array zu sortieren.

Man adaptiere die Quicksort-Idee so, dass ein Programm zur Bestimmung des Medians entsteht. Deshalb müssen wir bei den behandelten Themen eine gewisse Bandbreite sicherstellen.

Der begrenzte Platz erlaubt nur eine exemplarische Behandlung einiger weniger phänotypischer Algorithmen. Dabei müssen wir uns auch auf die Fragen der programmiertechnischen Implementierung konzentrieren.

Beide werden programmiertechnisch als ein-, zwei- oder mehrdimensionale Arrays dargestellt. Eindimensionale Arrays haben wir in den vorausgegangenen Kapiteln schon benutzt.

Jetzt wollen wir zweidimensionale Arrays betrachten. Die Verallgemeinerung auf drei und mehr Dimensionen funktioniert nach dem gleichen Schema. Zweidimensionale Arrays werden in java einfach als Arrays von Arrays dargestellt.

Damit sieht z. Das kann der Programmierer in jeder Applikation selbst entscheiden. Die Initialisierung mehrdimensionaler Arrays erfolgt meistens in geschachtelten for-Schleifen.

Aber man kann auch eine kompakte Initialisierung der einzelnen Zeilen vornehmen. Beispiel 1. Der Ausdruck a[i]. Verboten ist allerdings so etwas wie new double[10][][15].

Die einzelnen Zeilen können Arrays unterschiedlicher Länge sein. Die Initialisierung und die Zuweisung können entweder elementweise oder für ganze Zeilen kompakt erfolgen Letzteres allerdings nur für die letzte Dimension.

Zur Illustration betrachten wir eine klassische Aufgabe aus der Linearen Algebra. Programm 9. Dabei verwenden wir eine Hilfsfunktion skalProd, die das Skalarprodukt der i-ten Zeile und der j-ten Spalte berechnet.

Aber in welcher Form das Problem auch immer gestellt wird, letztlich ist es nur eine Menge stupider Rechnerei — also eine Aufgabe für Computer.

Wir wollen die Aufgabe gleich in einer leicht verallgemeinerten Form besprechen. Das geht am besten, indem man die Matrix A in das Produkt zweier Dreiecksmatrizen zerlegt s.

Abbildung 9. Bei dieser Zerlegung gibt es noch Freiheitsgrade, die wir nutzen, um die Diagonale von L auf 1 zu setzen.

LU-Zerlegung Im Folgenden diskutieren wir zuerst ganz kurz, weshalb Dreiecksmatrizen so schön sind. Danach wenden wir uns dem eigentlichen Problem zu, nämlich der Programmierung der LU-Zerlegung.

Alle Teilalgorithmen werden am besten als Teile einer umfassenden Klasse konzipiert, die wir in Programm 9.

Als Attribute der Klasse brauchen wir die beiden Dreiecksmatrizen L und U sowie eine Kopie der Matrix A weil sonst die Originalmatrix zerstört würde.

Wir verbergen L und U als private. Denn L und U dürfen nur von der Methode factor gesetzt werden. Man beachte, dass wir hier die Konventionen von java verletzen.

Eigentlich müssten wir die Matrizennamen A, L und U kleinschreiben, weil es sich um Variablen handelt. Aber hier ist für uns die Kompatibilität mit den mathematischen Formeln und deren Konventionen wichtiger.

Die Prinzipien der objektorientierten Programmierung legen es nahe, für jedes Gleichungssystem ein eigenes Objekt zu erzeugen. Wir entwerfen deshalb eine Konstruktormethode, die die Matrix A sofort in die Matrizen L und U zerlegt.

Danach kann man mit solve b1 , solve b2 ,. Danach besitzt dieses Objekt die beiden Matrizen L und U als Attribute. Das macht man sich ganz schnell an einem Beispiel klar.

Dabei beachte man, dass die Diagonale jetzt nicht mit 1 besetzt ist. Man kann die obere und untere Dreiecksmatrix als zwei Hälften einer gemeinsamen Matrix abspeichern s.

Abschnitt 9. Ändert sich dadurch etwas an den Programmen? Die Berechnung dieser Matrizen ist in Abbildung 9.

Die erste Spalte von L ergibt sich, indem man jedes Element der ersten Spalte von A mit dem Wert u1 multipliziert.

Diese Berechnungen lassen sich ziemlich direkt in das Programm 9. Dabei arbeiten wir auf einer privaten Kopie A der Eingabematrix, weil sie sich während der Berechnung ändert.

Die Methode factor hat eigentlich zwei Ergebnisse, nämlich die beiden Matrizen L und U. Wir speichern diese als Attribute der Klasse.

Da immer nur der Rest von A gebraucht wird, kann man sogar die Matrix A sukzessive mit den Elementen von L und U überschreiben.

Heute ist das Kriterium Speicherbedarf nachrangig geworden. Wichtiger ist die Verständlichkeit und Fehlerresistenz der Programmierung. Auch die Robustheit des Codes gegen irrtümlich falsche Verwendung ist wichtig.

Deshalb haben wir eine aufwendigere, aber sichere Variante programmiert. Übung 9. Man kann diesen rekursiven Aufruf auch ersetzen, indem man eine zusätzliche Schleife verwendet.

Man programmiere diese Variante. In der rekursiven Version ist das Programm lesbarer. Das Kopieren der Originalmatrix in die Hilfsmatrix ist zeitaufwendig.

Was ist, wenn der Wert a Null ist? Denn die Division ist auch kritisch, wenn der Wert a sehr klein ist, weil sich dann die Rundungsfehler verstärken.

Die Lösung von Gleichungssystemen ist invariant gegenüber der Vertauschung von Zeilen, sofern man die Vertauschung sowohl in A als auch in b vornimmt.

Deshalb sollte man in der Abbildung 9. In der Methode factor muss natürlich eine Vertauschung mit der k-ten Zeile erfolgen.

Mathematisch gesehen laufen diese Vertauschungen auf die Multiplikation mit Permutationsmatrizen Pk hinaus. Diese Matrizen sind in Abbildung 9.

Also muss auch die Permutationsmatrix P gespeichert werden, damit man sie auf b anwenden kann. Programmiertechnisch wird die Matrix P am besten als Folge Array der jeweiligen Pivot-Indizes j repräsentiert.

Das lässt sich reparieren, indem eine Nachiteration angewandt wird. Aus der Numerischen Mathematik ist bekannt, dass dieses Verfahren konvergiert, und zwar umso schneller, je näher B an A liegt.

Man programmiere das Verfahren der Nachiteration. Man multipliziert die Matrix A mit dem gefundenen Lösungsvektor x und prüft, ob dabei b entsteht bis auf Rundung.

Das lässt sich problemlos in die Klasse mit einbauen. Wir wollen uns jetzt ansehen, wie man solche Verfahren bei Bedarf man hat nicht immer eine Sprache wie java zur Verfügung selbst programmieren kann.

Üblicherweise nimmt man ein Verfahren, das auf Newton zurückgeht und das sehr schnell konvergiert. Dieses Verfahren liefert eine generelle Möglichkeit, die Nullstelle einer Funktion zu berechnen.

Also müssen wir unsere Aufgabe zuerst in ein solches Nullstellenproblem umwandeln. Das geht ganz einfach mit elementarer Schulmathematik. Und weil Math.

Die Lösungsidee für diese Art von Problemen geht auf Newton zurück: Abbildung 9. Illustration des Newton-Verfahrens die wesentliche Idee für das Lösungsverfahren.

Dann muss man zu anderen Verfahren greifen, z. Methode: Approximation Viele Aufgaben — nicht nur in der Numerik — lassen sich durch eine schrittweise Approximation lösen: Ausgehend von einer groben Näherung an die Lösung werden nacheinander immer bessere Approximationen bestimmt, bis die Lösung erreicht oder wenigstens hinreichend gut angenähert ist.

Der zentrale Aspekt bei dieser Methode ist die Frage, was jeweils der Schritt von einer Näherungslösung zur nächstbesseren ist.

Die genaueren Details — Rundungsfehleranalyse, Konvergenzgrad etc. Das gibt uns auch die Chance, eine Reihe von Hilfsmethoden Programm 9.

Durch diese Hilfsmethoden wird die Beschreibung und damit die Lesbarkeit des Programms wesentlich übersichtlicher und ggf.

Für die Berechnung des Startwerts gilt: Je näher der Startwert am späteren Resultat liegt, umso schneller konvergiert der Algorithmus.

Leider gibt es aber in den gängigen Programmiersprachen keine einfache Methode, auf den Exponenten einer Gleitpunktzahl zuzugreifen.

Und 9. Seither gibt es in der Klasse Math die Methode getExponent. Deshalb ist man immer mit dem Phänomen der Rundungsfehler konfrontiert.

Man sollte auf jeden Fall eine solche Funktion im Programm verwenden und nicht einen Test wie Derartige Analysen sind Gegenstand der Numerischen Mathematik und gehen damit über den Rahmen dieses Buches hinaus.

Tangens, Kotangens. Testen Sie, inwieweit sich diese Änderungen auf die Konvergenzgeschwindigkeit auswirken. Dabei können wir uns die Grundidee mit ein bisschen Schulmathematik schnell klarmachen.

Die Überlegungen, unter welchen Umständen diese Lösung funktioniert und warum, müssen wir allerdings wieder einmal den Mathematikern — genauer: den Numerikern — überlassen.

Zur Illustration betrachten wir Abb. Approximation eines Integrals durch Trapezsummen 9. Die Güte dieser Approximation wird durch die Anzahl n und damit die Breite h der Intervalle bestimmt — in Abhängigkeit von der jeweiligen Funktion f.

Damit haben wir ein Dilemma: Ein zu grobes h wird i. Also müssen wir uns noch ein bisschen mehr überlegen. Idee 2: Wir beginnen mit einem groben h und verfeinern die Intervalle schrittweise immer weiter, bis die jeweiligen Approximationswerte genau genug sind.

Aber diese naive Programmierung würde sehr viele Doppelberechnungen bewirken. Um das erkennen zu können, müssen wir uns noch etwas weiter in die Mathematik vertiefen.

Deshalb wollen wir diese Version jetzt in ein Programm umsetzen s. In diesem Programm 9. Damit folgt insbesondere der Zusammenhang 9.

Dieses Schema lässt sich auch wieder ganz einfach in das Programm 9. Hinweis: Man sollte — anders als wir es im obigen Programm gemacht haben — eine gewisse Minimalzahl von Schritten vorsehen, bevor man einen Abbruch zulässt.

Solche kritischen Situationen können z. Alles, was man hat, sind ein paar Stichproben, also Messwerte x an ei x0 , y0 ,. Diese Aufgabe der sog.

Interpolation ist in Abbildung 9. Da wir die Funktion f selbst nicht kennen, ersetzen wir sie durch eine andere Funktion p, die wir tatsächlich konstruieren können.

Gesucht: Ein Polynom p n-ten Grades, das die Stützstellen interpoliert, d. Voraussetzung: Einige numerische Forderungen bzgl.

Die Lösungsidee. In den computerlosen Jahrhunderten war es zum Glück viel wichtiger als heute, dass Berechnungen so ökonomisch wie möglich erfolgen konnten.

Wie so oft hilft ein rekursiver Ansatz, d. Das könnte man im Prinzip mit den Gleichungen 9. Aber 0 das ist eine rechenintensive und umständliche Strategie.

Die Idee von Newton organisiert diese Berechnung wesentlich geschickter und schneller. Die Rekurrenzbeziehungen 9.

Das Programm. Das Programm 9. Das Design folgt wieder den Grundprinzipien der objektorientierten Programmierung, indem zu jeder Menge von Stützstellen ein Objekt erzeugt wird.

Für die Berechnung dieser Matrix gibt es aufgrund der Abhängigkeiten aus Abbildung 9. Zu Illustrationszwecken nehmen wir noch eine weitere Änderung vor: An Stelle der Matrix a verwenden wir jetzt nur einen Array für die letzte Spalte.

Anwendung der Extrapolation. Zur Erinnerung: Der wesentliche Kern des Programms ist eine Schleife, in der jeweils die neue Approximation d berechnet wird.

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